Johanneum Lüneburg zur EXPO 2000	Dr. Dörte Haftendorn Fraktale als Erfindung des Menschen
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Messung der Boxdimension

Es gilt die Gesetzmäßigkeit . Dabei ist w die Gitterweite und m die Zahl der Kästchen, die vom Fraktal getroffen werden. Die Seite Boxdimension begründet diese Formel.
Hat man mehr als zwei Messungen, so ist es sinnvoll, sie gemeinsam graphisch auszuwerten. Dazu braucht man eine Bezugsgröße g, interpretierbar als Pixelbreite des Fraktals.

Aus dem Bild rechts ist (mit Operatoren) direkt ablesbar:

also

Die beiden Einsen in dem Bruch beziehen sich darauf, daß man als weites Raster auch den unteren Kasten nehmen kann. Ein Kasten, der von dem Fraktal getroffen wird, Streckfaktor 1 auf sich selbst.

Damit ist die Kennzeichnung von eng und weit unnötig geworden. Der Streckfaktor von der Rasterweite auf die ganze Weite g sei nun k _ganz . Dann gilt: . Dies ist in doppelt-logarithmischer Auftragung eine Ursprungsgerade.
Die Gleichung ist aber streng genommen nur richtig für m bei dem wahren Fraktal. Es zeigt sich auch, daß wirklich erzeugte Messpunkte zwar mit erfreulicher Genauigkeit in doppelt-logarithmischer Darstellung auf einer Geraden liegen, jedoch nicht auf einer Ursprungsgeraden. Dieses Verhalten kann man erklären und merkt dabei, daß die Steigung dieser Geraden aber weiterhin D ist

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Durchführung der Messung:
Gerasterte Fraktalbilder ist hier verfügbar oder mit meinen Programmen Linde und Zweig herstellbar.

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• Zähle auf dem Blatt mit dem gerasterten Fraktal sorgfältig, wie viele Kästchen von dem Fraktal "betreten" werden.
• Bestimme eine Bezugsgröße g . Eins der Raster mit Weite W sei K Kästchen breit. Dann ist g=K W.
• Lege eine Tabelle an:

Weiterführen für alle Messungen an diesem Fraktal

Trage die Wertepaare aus den Spalten 3 und 5 in einem Koordinatensystem ein.

Lege mit Augenmaß eine Ausgleichsgerade durch die Punkte. Bestimme ihre Steigung durch Einzeichnung eines Steigungsdreiecks.

Die Steigung ist der gesuchte Meßwert für die Boxdimension des Fraktals.

Grenzen des Verfahrens: Die Gitterweite muß deutlich kleiner als das Fraktal, aber größer als die kleinste Schrittweite des Fraktals bei dieser Stufe sein.
Gezeichnet ist nie das wahre Fraktal, sondern eine Stufe. Diese muß schon wesentliche Merkmale des wahren Fraktals aufweisen.
Die zufällige Lage des Fraktals im Raster erzeugt Schwankungen der Messpunkte.

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Autorin und Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Email Frühjahr 2000, letzte Änderung am 09. August 2023
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