Aufgabenlösungen Statistik Mathematik II Name:
Prof. Dr. Dörte Haftendorn Universtität Lüneburg - Automatisierungstechnik
Aus Zeitgründen -und weil ich es versprochen habe- kommen hier erstmal nur die "nackten" Ergebnisse.
Aufgabe 5
22 Pf Reingewinn pro Spiel
Aufgabe 6
R quer = 5,43 Ohm, s= 0,1 Ohm
Gemessen wurde ( 5,43 +/- 0,05) Ohm.
Gaußtest: H0: my= 5,83 Ohm, H1 my<5,83 Ohm,
z=2,65
alpha= 0,4% Sehr signifikante Verringerung des Widerstandes.
t-Test t=7,97 .........
Aufgabe 7
44,5 % <p<50,7%
Aufgabe 5
n=500 p=W. für "eine beliebige Birne ist defekt"
H0: my <=25, H1: my>25
P(X>30)=P(X>=31)=1-P(X<=30)=1-Phi(1,1285)=13%
Mit dieser W. werden rein zufällig 31 oder mehr defekte gefunden, also wird mit 13 % W. zu Unrecht reklamiert, wenn die Sendung den Bedingungen entspricht.
b) 5% alpha einseitig, z=1,645, z mal sigma=8,02 P(X>=25+8,02)<=5%
Also ist mit der Entscheidungsregel "ab 34 defekten unter 500 wird reklamiert" nur mit weniger als 5% W. zu Unrecht reklamiert.
Mit p=9% rechnen P(X>30)=P(X>=31)=1-P(X<=30)=1-Phi((30.5-45)/Wurzel(500 0.09 0.91))=Phi(2.344)=0,9905
Mit 99 % W. wird die Kiste zurückgeschickt.
Aufgabe 9
Mit 56 % W. hat er nicht genügend Transistoren.
Rüwärts arbeiten: alpha=3%, z=1,88, z sigma=6, my=106=n mal p also n=118.
Er sollte 118 oder 119 stück bestellen, damit er mit 97 % W. 100 oder mehr Transistoren hat.
Aufgabe 10
Poissonverteilung, später
Aufgabe 11
33,7%<p<43%
Aufgabe 12
p=50% eine Frage falsch zu beantworten
X=Zahl der falsch beantworteten Fragen unter n=100
P(X<=40)=......Tabelle.........=2,84%
Nur knapp 3% der "Reinen Rater" bekommen den Schein.
b) H0: p>=50%, H1: p<50%. Der Falschanteil ist kleiner als bei zufälliger Auswahl, der Kandidat weiß also etwas.
alpha=3% Irrtumsw. für die Behautung "Wer bei uns besteht, kann wenigstens ein bisschen was, er rät nicht nur."
Aufgabe 13
Tino behauptet, in diesem kühlen Sommer sei sein Wein deutlich weniger süß. Im vorigen Jahr hatte er 70 ° Öchsle, nun aber hat Tino gemessen: 65°, 70°, 62°.
Berechnen Sie Mittelwert und die gemessene Standardabweichung für Einzelwerte. Geben Sie das Ergebnis der Messung an.
Mittelwert Mquer=65,67° Öchsle. s(M)=4,04 ° , s(Mquer)=2,33 ° Messwert 65,7° +-2,4°. (Man rundet i.a. nicht nach den Rundungsregeln, sondern "zu eigenen Ungunsten"). D.h. mit einer statistischen Sicherheit von etwa 95% liegt das wahre Mostgewicht im Bereich von 60,9° bis 70,5°. (Hierfür ist 2 s(Mquer genommen, (61° bis 70,4° bei genauerer Rechnung wäre auch richtig.)
Eine Messung eines einzelnen Mostgewichtes sei i.a. auf 3° genau. (von mir ausgedacht!!!). Berechnen Sie, ob Tino wirklich behaupten kann, sein Wein sei heuer saurer. Schätzen Sie zunächt grob, ob sein Mittelwert aus dem 2 sigma Bereich herausfällt.
Zusändig ist sigma /Wurzel(3) = 1,73 , also es ist Mquer=65,67 < 66,5 = 70 - 2*1,73, also ist das Mostgewicht zweiseitig mindestens auf dem 5% Niveau ,einseitig auf dem 2,5% -Niveau, zu niedrig in diesem Jahr.
Ein-Stichproben-Gaußtest:
H0: M>=70°
H1: M <70° , einseitig, da kühle Sommer keine süßeren Weine bringen.
z=1,8 P (Mquer < = 65,7°) = Phi ( z ) = Phi (1,8) = 1 - 0,9641 = 3,6 %
Das Mostgewicht ist in diesem kühlen Sommer signifikant ( alpha < 4%) gesunken.
Testen Sie mit dem t-Test:
Beim t-Test hat man dieselben Hypothesen wie beim Gauß-test, aber man verwendet die gemessene Standardabweichung.
Freiheitsgrad 2, Prüfgröße t= (65.67-70)/ 2,33= 1,86 Diese Zahl ist zu klein. für eine Signifikanz auf dem 5%-Niveau einseitig hätte man 2,92 übersteigen müssen. Der wein mag ja wirklich saurer sein, aber mit dem t-Test kann Tino das mit seinen 3 Messungen nicht nachweissen. es ist ihm zu empfehlen, mehr Messungen durchzuführen, wenn er die übliche Messgenauigkeit nicht kennt.
Führen Sie einen F-Test durch.
Der F-Test soll zeigen, ob Tinos Standardabweichung von 4° für Einzelwerte sich signifikant vom üblichen Wert 3° unterscheidet. Also ist H0: sigma=3 und H1: sigma ungleich 3
Freiheitsgrade 2 und unendlich.
Prüfgröße F= 4^2/3^2 = 16/9=1,7777 Der Test ist zweiseitig, da man vorher nicht wusste, wie Tinos Werte schwanken. Er fällt aber nicht signifikannt aus, man hätte für das Niveau alpha=10% 19,5 übersteigen müssen. Hätte er seinen Wert aus etwa 25 Messungen gehabt, dann hätte er signifikant ungenauer gemessen. So aber kann man nichts darüber aussagen ob er eine andere Messgenauigkeit hat als üblich oder nicht.
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Betreuung: Prof. Dr. Dörte Haftendorn 
, Dez. 2002, update 11. Oktober 2002
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