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Logik und Boolsche Algebra
Informatik und Mathematik mit MuPAD 2, Prof. Dr. Dörte Haftendorn 04.04.02 Version vom 04.04.02
Eine sprachliche oder mathematische Aussage ist ein Satz (oder ein mathematisches Gebilde), zu dem der Begriff wahr oder der Begriff falsch gehört. Die Regeln mit denen man aus Aussagen neue Aussagen bilden kann, beschreibt man in der Boolschen Algebra. (Kurzform: "Rechnen mit Aussagen").
Bezeichnung nach George Boole 1854. Computersprachen und Computer-Algebra-Systeme, CAS, beherrschen Boolsche Algebra.
Auswertung elementarer Aussagen (in MuPAD)
Error: Can't evaluate to boolean [_less]
Also konnte die letzte Ungleichung nicht ausgewertet werden, a und b waren nicht bekannt.
Ein Satz oder mathematisches Gebilde mit Variablen heißt Aussageform, wenn durch Belegung der Variablen eine Aussage entsteht. Aussagenformen heißen auch Prädikate, der Umgang mit ihnen heißt Prädikatenlogik. Diese wird in dieser Datei nicht vertieft.
Bezeichnung von Aussagen kann mit beliebigen Namen geschehen, meist nimmt man Großbuchstaben:
Im Folgenden sollen mit Aw, Bw, Cw.... wahre Aussagen und mit Af, Bf, Cf, ... falsche Aussagen bezeichnet werden.
Durch den := weist man zu, der die anderen Doppelpunkte unterdrücken die Ausgabe.
Verknüpfungen von Aussagen, logische Operatoren
Das logische Und heißt in MuPAD und anderen Computersprachen and , AND .....
Als Zeichen ist es kleines Dach. Man schafft sich eine Übersicht mit einer "Wahrheitstafel".
Hier ist eine Liste mit allen möglichen Kombinationen von wahren und falschen Aussagen.
Die Und-Aussage ist also genau dann wahr, wenn beide beteiligten Aussagen wahr sind. Eine Und-Aussage heißt auch Konjunktion.
Das logische Oder heißt in MuPAD und anderen Computersprachen or , OR .....
Als Zeiche ist es kleines v. Man schafft sich eine Übersicht mit einer "Wahrheitstafel".
Hier ist eine Liste mit allen möglichen Kombinationen von wahren und falschen Aussagen.
Die Oder-Aussage ist also genau dann falsch, wenn beide beteiligten Aussagen falsch sind. Eine Oder-Aussage heißt auch Disjunktion.
"Genau dann" kann man auch als "dann und nur dann" aussprechen.
Die Negation, das logische Nicht, heißt in MuPAD und anderen Computersprachen not , NOT .....
Als Zeichen wird oft ein Haken verwendet oder über dem Buchstaben der Aussage wird ein Strich gemacht.
Zusammensetzungen mit der Negation
Negiert man eine Und-Aussage erhält man folgendes:
MuPAD "löst auf" : nicht( A und B) = nicht A oder nicht B , das 1. Gesetz von De Morgan
Man beweist ein solches Gesetz, indem man alle möglichen Belebungen von A und B mit wahren und falschen Aussagen prüft.
Übrigens: Der nicht-Operator bindet stärker als alle anderen logischenOperatoren.
Da sich dieselbe Wahrheitstafel ergibt, gilt das 1. Gesetz. von De Morgan. In Worten:
Die Negation einer Und-Aussage ist die Oder-Aussage mit den Negationen der einzelnen Aussagen.
Negiert man eine Oder-Aussage erhält man folgendes:
Die Negation einer Oder-Aussage ist die Und-Aussage mit den Negationen der einzelnen Aussagen.
MuPAD "löst auf" : nicht( A oder B) = nicht A und nicht B , das 2. Gesetz von De Morgan
Da sich dieselbe Wahrheitstafel ergibt, gilt das 2. Gesetz. von De Morgan.
Weitere logische Operatoren der Informatik
Da in der Informatik Schaltelemente für die logischen Operatoren konstruiert werden, sind auch die Zusammensetzungen NichtUnd = nand=Nand = NAND=... und NichtOder=nor=Nor=NOR=... gebräuchlich.
In machen Sprachen sind sie implementiert, in MuPAD kann man sie sich selbst definieren:
Probe an einem Beispiel, dass das richtig funktioniert:
Aufbau der Logik mit NAND-Bausteinen
Wenn man die logischen Operatoren Nicht, Und und Oder mit Nand bauen kann, dann lässt sich jede logische
Schaltung allein aus Nand-Bausteinen aufbauen:
Rechenregeln für logische Terme, Distributiv-Gesetze
Ein Beispiel für die Richtigkeit:
Ein Beispiel für die Richtigkeit:
Für einen Beweis müsste man alle 8 Belegungen durchchecken.
Verwendung der logischen Terme in der Informatik
if 3<4 then kleiner_ok else ganzFalsch end_if
Zusammengesetzte Abbruchbedingungen in Schleifen.
while i < 5 or r >1.5 do
print(i ,r):
r := sqrt(r):
i := i + 1:
end_while:
1, 10.0
2, 3.16227766
3, 1.77827941
4, 1.333521432
repeat
print(i,r);
i := i + 1; r:=sqrt(r):
until i >= 5 or r <1.5 end:
1, 10.0
2, 3.16227766
3, 1.77827941
repeat
print(i,r);
i := i + 1; r:=sqrt(r):
until i >= 5 and r <=1.5 end: //Negation der While-Bedingung
1, 10.0
2, 3.16227766
3, 1.77827941
4, 1.333521432
for i from 1 to 5 do
print(i,r);
r:=sqrt(r):
end_for:
1, 10.0
2, 3.16227766
3, 1.77827941
4, 1.333521432
5, 1.154781985
Direkte Boolsche Werte
In einigen (älteren) Computersprachen ist TRUE=1 und FALSE=0.
Variablen für logische Ausdücke (=logische Terme=boolsche Ausdrücke) sind vom Datentyp boolean.
Manchmal wird für UND ein Malzeichen und für ODER ein Pluszeichen geschrieben. Das passt dazu, dass in allen Computersprachen UND Vorrang vor ODER hat.
| http://p-roocks.de/scripts.php Interaktive Erstellung von Wahrheitstafeln zu logischen Ausdrücken von Patrick Roocks (Stud. Inf) |
Internetadressen [www.doerte-haftendorn.de] [http://haftendorn.uni-lueneburg.de]
[http://haftendorn.uni-lueneburg.de/ing-math] [oben]
ing-math, Betreuung: Prof. Dr. Dörte Haftendorn 
, April 2002, update